Lomené výrazy

Žáci krátí, rozšiřují a sčítají lomené výrazy, určují podmínky existence a používají je k zápisu reálných situací.

Průvodce tématem Lomené výrazy v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Lomené výrazy (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lomený výraz je podíl dvou algebraických výrazů, přičemž jmenovatel není identicky nula. V 9. ročníku žáci navazují na krácení zlomků a úpravy mnohočlenů: výraz rozloží, zkrátí společné činitele, rozšíří na společný jmenovatel a sčítají, odčítají, násobí i dělí. Každá úprava musí zachovat hodnotu výrazu pro všechna přípustná čísla.

Podmínky existence se zapisují ze jmenovatele (a z jmenovatelů po úpravě, pokud se objeví nové): hodnoty, pro které je jmenovatel nula, do definičního oboru nepatří. Výsledek se proto vždy doplňuje o tyto podmínky, i když po krácení ve jmenovateli zbude konstanta.

Výstupy MAT-MAT-005-ZV9-017 a MAT-MAT-001-ZV9-001 směřují k modelování: průměrná rychlost, společná práce, poměr částí celku nebo hustota se zapíší lomeným výrazem, ten se upraví a dosazením se ověří, zda dává smysl v reálné situaci.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Lomený výraz
Podíl P/Q, kde P a Q jsou mnohočleny (nebo výrazy z nich složené) a Q není identicky nula; hodnota je definovaná jen tam, kde Q ≠ 0.
Definiční obor a podmínky
Množina čísel, pro která je jmenovatel nenulový; podmínky se určí z původního zápisu i z mezikroků, kde se jmenovatel mění.
Krácení
Čitatel i jmenovatel se rozloží a společný činitel se vykrátí jen tehdy, když je v celém součinu, ne v jednom členu součtu.
Rozšiřování
Čitatel i jmenovatel se násobí týmž nenulovým výrazem, aby vznikl společný jmenovatel pro sčítání a odčítání.
Společný jmenovatel
Nejmenší společný násobek rozložených jmenovatelů; každý sčítanec se rozšíří tak, aby měl právě tento jmenovatel.
Součet a rozdíl
Po sjednocení jmenovatelů se sčítají (odčítají) jen čitatele; jmenovatel zůstává společný a výsledek se zkrátí.
Součin a podíl
Součin je součin čitatelů lomený součinem jmenovatelů; dělení je násobení převráceným výrazem, opět s kontrolou nuly ve jmenovateli.
Model reálné situace
Lomený výraz zapisuje např. část celku, průměrnou veličinu nebo poměr; po úpravě se dosazením ověří, zda výsledek odpovídá zadání.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák krátí člen v součtu: z (x+2)/(x+4) „vyškrtne x“ a napíše 2/4.

    Jak na to

    Napište tentýž výraz vedle sebe s konkrétním x (např. 6) a s „zkráceným“ tvarem; porovnejte hodnoty a vraťte se k rozkladu: krátit smí jen společný činitel součinu.

  • Častá chyba

    Po zkrácení (x−3)/(x−3) na 1 žák prohlásí, že výraz platí i pro x = 3.

    Jak na to

    Nechte dosadit x = 3 do původního zápisu (dělení nulou). Podmínku x ≠ 3 zapište vedle výsledku 1 jako povinnou část odpovědi.

  • Častá chyba

    Při sčítání 1/x + 1/(x+1) sečte čitatele i jmenovatele a dostane 2/(2x+1).

    Jak na to

    Spočítejte obě strany pro x = 1. Pak společně rozšířte na jmenovatel x(x+1) a sečtěte jen čitatele.

  • Častá chyba

    Při dělení (2/x) : (4/x) žák „překříží“ jen čísla a zapomene, že převrácený výraz 4/x je x/4 jen tam, kde x ≠ 0.

    Jak na to

    Převeďte dělení na násobení převráceným výrazem na tabuli, určete podmínky z obou jmenovatelů před i po převrácení a teprve potom krátěte.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: zlomky 2/3 + 1/6 a otázka, co se změní, když místo čísel stojí x a x+1 — žáci navrhují, pro která x to dává smysl.
  2. Jádro: rozklad, krácení, společný jmenovatel a zápis podmínek; každý typ úpravy ověřit dosazením přípustného čísla.
  3. Reflexe: žáci k jednomu upravenému výrazu doplní podmínky a jednu reálnou situaci, kterou by výraz mohl modelovat.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane tentýž lomený výraz v různých tvarech; mají rozhodnout, zda jsou výrazy totožné na společném definičním oboru, a uvést protiargument dosazením.
  • Krátká modelová úloha (společná práce nebo průměrná rychlost na dvou úsecích): zapsat lomený výraz, upravit, dosadit daná čísla a zkontrolovat podmínky.

Hodnocení

Žák upraví součet nebo podíl dvou lomených výrazů, výsledek zkrátí a zapíše všechny podmínky z jmenovatelů (MAT-MAT-005-ZV9-017).

Žák zapíše reálnou situaci lomeným výrazem se zlomkovou strukturou, upraví ho a dosazením ověří smysluplnost výsledku (MAT-MAT-001-ZV9-001).

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Lomené výrazy

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Lomené výrazy jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-001-ZV9-001 Řeší problémy se zlomky v kontextu reálných situací.
  • MAT-MAT-005-ZV9-017 Modeluje reálné problémy pomocí výrazů, upravuje je a vyhodnocuje.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Lomené výrazy trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata