Přímka jako model závislosti

Žáci propojují předpis lineární funkce s tabulkou a grafem, určují směrnici a průsečíky s osami a využívají přímou úměrnost i další lineární vztahy k popisu reálných situací.

Průvodce tématem Přímka jako model závislosti v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Přímka jako model závislosti (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Lineární funkce y = ax + b popisuje závislost, jejíž grafem je přímka. Žáci z předpisu určují směrnici a, která udává změnu y při zvýšení x o 1, a hodnotu b, tedy funkční hodnotu pro x = 0. Z tabulky nebo z dvojice bodů sestavují předpis a graf rýsují v souřadnicové rovině.

Přímá úměrnost y = kx je zvláštní případ lineární funkce, v němž b = 0 a graf prochází počátkem souřadnicové soustavy. Předpis může popsat například cenu při stálé ceně za kus nebo dráhu při stálé rychlosti; u každého modelu záleží na významu veličin a na předpokladech situace. Téma rozvíjí řešení reálných problémů pomocí funkcí (MAT-MAT-005-ZV9-019) a navazuje na poměr a úměru (MAT-MAT-005-ZV9-016).

Propojení předpisu s grafem pomáhá žákům vyložit význam směrnice a posunu: znaménko směrnice určuje, zda přímka stoupá, nebo klesá, a hodnota b určuje její průsečík s osou y. Ze změn souřadnic dvou různých bodů na přímce lze směrnici ověřit.

Předpoklady

  • Pojem funkce, závislá a nezávislá proměnná a čtení tabulek a grafů.
  • Přímá úměrnost y = kx a poměr v praktických úlohách.
  • Lineární rovnice, dosazování do vzorce a vyjádření neznámé.
  • Celá a racionální čísla na číselné ose a souřadnice bodu.

Klíčové pojmy

Předpis y = ax + b
Směrnice a udává změnu y při zvýšení x o 1. Hodnota b je funkční hodnota pro x = 0 a zároveň y-ová souřadnice průsečíku grafu s osou y.
Graf lineární funkce
Graf tvoří body [x; ax + b]. K sestrojení přímky stačí dva různé správně určené body; další bod může posloužit ke kontrole.
Směrnice a sklon
Je-li a kladné, přímka při pohybu zleva doprava stoupá; je-li záporné, klesá. Při stejném měřítku na obou osách platí, že čím větší je |a|, tím je přímka strmější. Pro a = 0 je graf vodorovná přímka y = b.
Průsečíky s osami
S osou y se graf protíná v bodě [0; b]. Pro a ≠ 0 je jeho průsečík s osou x bod [−b/a; 0]. Je-li a = 0 a b ≠ 0, graf osu x neprotíná; pro a = b = 0 s ní splývá.
Přímá úměrnost jako zvláštní případ
Předpis y = kx odpovídá b = 0, takže graf prochází počátkem. Konstantou úměrnosti k je zároveň směrnice grafu.
Sestavení předpisu z bodů nebo tabulky
U lineárního vztahu lze z dvojice různých bodů určit směrnici jako podíl změny y a změny x a dosazením souřadnic jednoho bodu dopočítat b. U přímé úměrnosti stačí jeden pár hodnot s nenulovým x.
Model reálné závislosti
Při volbě předpisu je třeba určit, co představují x a y, jaké mají jednotky a pro které hodnoty má model v dané situaci smysl; například počet kusů bývá nezáporné celé číslo.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    U předpisu y = −2x + 3 žák zamění směrnici a posun a tvrdí, že přímka „jde dolů o 2 a doprava o 3“.

    Jak na to

    Dosadí x = 0 a x = 1: získá body [0; 3] a [1; 1]. Změna z prvního bodu do druhého je o 1 doprava a o 2 dolů, takže směrnice je −2; číslo 3 určuje průsečík s osou y.

  • Častá chyba

    Z tabulky x: 1, 2, 3 a y: 5, 7, 9 žák zapíše y = 5x, protože „začíná pětkou“.

    Jak na to

    Určete změnu y při zvýšení x o 1: směrnice je 2. Dosazením bodu [1; 5] vyjde 5 = 2 · 1 + b, tedy b = 3 a předpis y = 2x + 3. Porovnejte jej s y = 5x například pro x = 2.

  • Častá chyba

    Žák považuje každou přímku za graf přímé úměrnosti, a proto označí y = 2x + 1 za přímou úměrnost.

    Jak na to

    Ověřte hodnotu pro x = 0: přímá úměrnost musí mít y = 0. Porovnejte grafy y = 2x a y = 2x + 1; počátkem prochází jen graf y = 2x.

  • Častá chyba

    Při rýsování y = (1/2)x − 1 žák považuje koeficient 1/2 za posun na ose y a vyznačí bod [0; −1/2].

    Jak na to

    Dosazením x = 0 a x = 2 určete body [0; −1] a [2; 0]. Poté ukažte, že směrnice 1/2 znamená vzestup o 1 při posunu o 2 doprava.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: Z tabulky ceny podle počtu jízdenek žáci odhadnou, zda graf prochází počátkem a jak se cena mění s počtem jízdenek.
  2. Uvědomění: Z předpisu y = ax + b žáci vypočítají tři body a narýsují přímku. V grafu určí směrnici a průsečík s osou y, z dvojice bodů sestaví předpis a porovnají obecný případ s přímou úměrností, kde b = 0.
  3. Reflexe: U jedné slovní úlohy žáci zapíší předpis, vysvětlí význam a a b a určí hodnotu proměnné, která v dané situaci nedává smysl.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostanou tři předpisy s kladnou a zápornou směrnicí a jeden případ s b = 0. Na společné síti načrtnou grafy, vymění si papíry a podle grafu spolužáků znovu zapíší předpisy.
  • Z krátkého popisu tarifu taxi s nástupní cenou a cenou za kilometr žáci sestaví předpis y = ax + b, vypočítají cenu pro zadanou vzdálenost a z ceny určí ujetou vzdálenost řešením rovnice.

Hodnocení

Žák z předpisu y = ax + b určí směrnici a průsečík s osou y, sestrojí graf ze dvou bodů a z grafu nebo tabulky sestaví předpis.

Žák zapíše předpis pro jednoduchou reálnou lineární závislost, vysvětlí význam jeho hodnot a vypočítá požadovanou hodnotu; u přímé úměrnosti rozpozná, že graf prochází počátkem (MAT-MAT-005-ZV9-019, MAT-MAT-005-ZV9-016).

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Přímka jako model závislosti

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Přímka jako model závislosti jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 15

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-016 Řeší reálné problémy pomocí poměru, úměry a procent.
  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Přímka jako model závislosti trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata