Určování pravděpodobnosti

Žáci v 9. ročníku určují pravděpodobnost jevu z výčtu stejně možných výsledků i odhadem z relativní četnosti v datech. Výsledky využívají k jednoduchému rozhodování, například při porovnání dvou sázek nebo posouzení, zda je jev spíše vzácný, nebo běžný. Navazují na dřívější pokusy s mincí a kostkou a na čtení tabulek; pravděpodobnost zapisují zlomkem, desetinným číslem i procenty a porovnávají odhad s výpočtem.

Výstup MAT-MAT-004-ZV9-013 směřuje k tomu, aby žáci určovali pravděpodobnost různými způsoby a využívali ji v konkrétní situaci. Žáci rozlišují jistý, možný a nemožný jev, určují pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů a doplňkového jevu a ověřují, že součet pravděpodobností všech elementárních výsledků je 1.

Žáci pracují jak s klasickým modelem, v němž jsou výsledky stejně možné, tak s empirickým odhadem z četností v tabulce nebo z vlastního pokusu. Rozhodování vztahují k jednoduchým školním situacím, například k porovnání sázek nebo volbě strategie ve hře podle vypočtených pravděpodobností.

Předpoklady

• Pravděpodobnost a náhodné pokusy — odhad jevu z pokusu a zápis četnosti
• Kombinatorika: výčet možností, který pomáhá určit počet všech výsledků
• Procenta – základ, část a počet procent (převod pravděpodobnosti)
• Grafy, tabulky a čtení dat pro empirický odhad pravděpodobnosti

Klíčové pojmy

Náhodný pokus a jev

Náhodný pokus má několik možných výsledků; jev tvoří výsledky, které nás zajímají, například padne sudé číslo nebo vytáhnu červený žeton.

Klasická pravděpodobnost

P(A) = počet výsledků příznivých jevu A / počet všech stejně možných výsledků. Tento vztah platí jen tehdy, jsou-li všechny výsledky stejně možné.

Empirická pravděpodobnost

Pravděpodobnost odhadujeme relativní četností jevu v datech nebo v sérii pokusů. U dostatečně dlouhé série nezávislých pokusů se relativní četnost obvykle přibližuje teoretické pravděpodobnosti.

Jistý, možný a nemožný jev

Jistý jev má pravděpodobnost 1, nemožný jev pravděpodobnost 0 a možný, ale ne jistý jev má pravděpodobnost mezi 0 a 1.

Doplňkový jev

Pravděpodobnost, že jev A nenastane, je 1 − P(A). Tento vztah se hodí, když je jednodušší určit pravděpodobnost opačného jevu.

Neslučitelné jevy

Neslučitelné jevy nemohou nastat současně, takže pravděpodobnost, že nastane jeden z nich, získáme sečtením jejich pravděpodobností. U jevů, které se překrývají, je třeba společné výsledky započítat jen jednou; například sudé číslo a číslo větší než 4 na kostce mají společný výsledek 6.

Porovnání a rozhodování

Větší pravděpodobnost znamená v daném modelu větší šanci, že jev nastane. Při volbě hry nebo varianty žáci opírají rozhodnutí o vypočtené hodnoty.

Zápis pravděpodobnosti

Pravděpodobnost lze zapsat zlomkem, desetinným číslem nebo procenty. Při převodu žáci ověřují, že hodnota leží od 0 do 1, tedy od 0 % do 100 %.

Časté miskoncepce

• Častá chyba

  „Po třech šestkách už šestka nepřijde“ — žák předpokládá, že předchozí nezávislé hody mění pravděpodobnost dalšího hodu.

  Jak na to

  Určete pravděpodobnost šestky při dalším hodu samostatně. U férové kostky a nezávislých hodů zůstává 1/6 bez ohledu na předchozí výsledky.

• Častá chyba

  Žák použije podíl „příznivé výsledky / všechny výsledky“, i když výsledky nejsou stejně pravděpodobné; například odhadne pravděpodobnost deště jako 1/2, protože buď prší, nebo neprší.

  Jak na to

  Porovnejte hod kostkou, která má šest stejně pravděpodobných výsledků, s četnostmi počasí v konkrétní tabulce. Před výpočtem žáci zdůvodní, zda jsou výsledky stejně pravděpodobné, nebo zda vycházejí z pozorovaných četností.

• Častá chyba

  Žák při výpočtu pravděpodobnosti jevu „sudé nebo větší než 4“ sečte pravděpodobnosti jevů „sudé“ a „větší než 4“ a výsledek 6 započítá dvakrát.

  Jak na to

  Vypište množiny {2, 4, 6} a {5, 6}, vyznačte jejich společný výsledek 6 a určete pravděpodobnost sjednocení z výčtu výsledků.

• Častá chyba

  Žák zamění pravděpodobnost za četnost: „V 10 hodech padla pětka třikrát, takže P = 3“ nebo „P = 3/6, protože kostka má šest stěn“.

  Jak na to

  Porovnejte dva zápisy vedle sebe: teoretická pravděpodobnost pětky při hodu férovou kostkou je 1/6 a její relativní četnost v dané sérii hodů je 3/10. Žáci určí, který údaj odpovídá zadané otázce.

Jak učit

2–3 hodiny

1. Evokace: Žáci nejprve odhadnou výsledek jednoduché sázky na hod kostkou nebo tah ze sáčku s různým počtem kuliček a svůj odhad zdůvodní.
2. Uvědomění: Žáci určují pravděpodobnost výčtem stejně možných výsledků i z tabulky četností, převádějí ji na procenta a pracují s doplňkovými a neslučitelnými jevy. Výsledky využijí k jednoduchému rozhodnutí.
3. Reflexe: Žáci u jedné situace popíší, jak pravděpodobnost určili a jaký závěr z výsledné hodnoty vyvodili.

Nápady na aktivity

• Sáček s různým počtem barevných žetonů: žáci vypočítají pravděpodobnost jednotlivých barev, provedou 20 tahů s vracením a porovnají relativní četnost s vypočtenou hodnotou; pak rozhodnou, na kterou barvu by vsadili.
• Z tabulky výsledků školního turnaje nebo hodů kostkou žáci odhadnou pravděpodobnost jevu z četností, určí pravděpodobnost doplňkového jevu a posoudí, zda se podle dat vyplatí na daný výsledek sázet.

Hodnocení

Žák určí pravděpodobnost jevu dvěma způsoby, například z výčtu stejně možných výsledků a z dat, vyjádří ji zlomkem nebo procenty a zdůvodní jednoduché rozhodnutí.

Krátká písemná práce ověří určení pravděpodobnosti sjednocení překrývajících se jevů, doplňkového jevu a empirické pravděpodobnosti z četností v zadané situaci.

Zdroje

• Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
• Jednotná přijímací zkouška — CERMAT

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Určování pravděpodobnosti

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Určování pravděpodobnosti jedním klikem.

Základní materiály

• Příprava na hodinu

  Kompletní příprava s cíli, průběhem a aktivitami.

• Pracovní list

  List s úlohami, klíčem a variantou.

• Písemka

  Časovaná písemka s body a variantami.

• Aktivita

  Aktivita do hodiny, kterou žáci hned spustí.

• Prezentace

  Sada slajdů k výkladu a procvičení.

• Kartičky

  Materiál k tisku (kartičky, plakát, pracovní list).

• QR hra

  Interaktivní hra k procvičení tématu.

Interaktivní aktivity 15

• Křížovka s tajenkou

  Legendová křížovka, kde se ve sloupci skrývá tajenka. Skvělá na opakování pojmů.

  10–20 min

• Kartičky

  Sada oboustranných kartiček na učení pojmů a definic. Žáci si je procvičí překlápěním.

  5–20 min

• Pexeso a spojovačka

  Dvojice kartiček s obrázky, pojmy nebo příklady. Spojovačka, pexeso i volné třídění – ideální na slovní zásobu i opakování.

  10–25 min

• Poslechové cvičení

  Vícehlasý dialog s namluvenými hlasy a navázanými otázkami k poslechu.

  5–30 min

• Rozhodovačka

  Rychlé rozhodování mezi možnostmi s okamžitou zpětnou vazbou.

  5–12 min

• Otázky

  Sada otázek s výběrem odpovědí; jedna nebo více správných. Okamžitá sebekontrola.

  5–15 min

• Vpisování

  Žáci dopisují krátké odpovědi a ihned vidí, zda se trefili.

  5–15 min

• Rozřazovačka

  Žáci přetahují kartičky do správných kategorií.

  5–15 min

• Rozbory

  Žák přiřazuje značky k částem věty nebo výrazu — větné členy, slovní druhy, větné rozbory. Sebevyhodnocovací procvičování.

  10–20 min

• Označování

  Žáci označují správná slova přímo v textu.

  5–15 min

• Doplňování textu

  Žáci doplňují chybějící slova přímo do vět nebo krátkého textu.

  5–15 min

• Krok po kroku

  Žáci řadí kroky procesu do správného pořadí.

  5–15 min

• Popis obrázku

  Diagram s očíslovanými špendlíky. Žáci přiřazují popisky k částem obrázku — biologie, zeměpis, anatomie.

  5–15 min

• Přesouvání

  Žáci přetahují kartičky do přesně určených slotů.

  5–15 min

• Čtení s porozuměním

  Žáci čtou krátký text a odpovídají na otázky k jeho obsahu.

  10–25 min

K tisku a rozstříhání 8

• Páry

  Kartičky se dvěma polovinami, které k sobě patří (např. datum–událost). Žáci je vystřihnou a párovají.

  10–20 min

• Výběr z možností (s tajenkou)

  Kartičky s úlohami a třemi možnostmi. Písmena u správných odpovědí složí tajenku — žák si tak řešení zkontroluje sám.

  10–20 min

• Doplňování do vět

  Věty s výběrem ze dvou možností uvnitř — žák zakroužkuje správnou.

  10–20 min

• Hra Riskuj

  Kvízová hra se třemi podtématy a otázkami různé hodnoty — klasický formát Riskuj / Jeopardy.

  15–30 min

• Hra AZ kvíz

  28 otázek na hexagonální hrací pole — cílem je spojit všechny tři strany.

  15–35 min

• Označ správnou možnost

  Kartičky s otázkou a čtyřmi možnostmi — žák označí správnou (např. kolíčkem).

  10–20 min

• Já mám, kdo má …?

  Kartičky s tvrzením a otázkou — žáci je čtou v kruhu a hledají navazující odpověď.

  10–25 min

• Hádej, kdo jsem

  Kartičky s popisem osobnosti, věci nebo zvířete v 1. osobě — žáci tipují, o koho/co jde.

  10–25 min

Hry pro celou třídu 4

• AZ kvíz

  28 otázek na hexagonálním hracím poli — cílem je spojit všechny tři strany. Včetně náhradních ANO/NE otázek.

  15–35 min

• Riskuj

  Klasická hra se 5 kategoriemi a otázkami za 100–500 bodů — týmy soutěží o nejvyšší skóre.

  15–40 min

• Pexeso

  Klasické pexeso s 10 dvojicemi (pojem ↔ popis) — dva týmy se střídají a hledají shody.

  10–25 min

• Šarády

  Šarády se 12 úkoly (mluvení, kreslení, pantomima) — dva týmy hádají, kdo uhodne první, dostane bod.

  15–30 min

Očekávané výstupy