Funkce: pojem a vlastnosti

Žáci rozlišují funkci od pouhého předpisu, určují definiční obor a obor hodnot a čtou základní vlastnosti z grafu.

Průvodce tématem Funkce: pojem a vlastnosti v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Funkce: pojem a vlastnosti (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Žáci v 9. ročníku zavádějí funkci jako přiřazení, které každému přípustnému vstupu x dává právě jednu hodnotu y. Od pouhého algebraického předpisu oddělují tři roviny: tabulku hodnot, graf v souřadnicové soustavě a slovní popis závislosti. Výstup MAT-MAT-005-ZV9-019 směřuje k tomu, aby funkci použili při popisu reálné situace (cena podle počtu kusů, teplota v čase, vzdálenost od startu), ne jen k dosazení do vzorce.

Definiční obor čtou jako množinu x, pro něž má zadání smysl (odmocnina, jmenovatel, interval z kontextu úlohy). Obor hodnot odhadují z grafu nebo z tabulky, ne z „všech reálných čísel“ automaticky. Z grafu rozeznávají, zda jde o funkci (svislá přímka protne graf nejvýše jednou), kde je rostoucí a klesající úsek, extrém a zda je graf souměrný podle osy y.

Lineární, kvadratická a lineární lomená funkce se zde jen připravují jako příklady; jejich předpisy a konstrukce grafu patří na samostatné stránky plánu. V této jednotce stačí, aby žák u konkrétního grafu nebo tabulky řekl, co je vstup, co výstup a které vlastnosti z obrázku opravdu vidí.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Funkce
Přiřazení, které každému x z definičního oboru přiřadí právě jedno y; stejný vstup nesmí dát dvě různé výstupy.
Předpis, tabulka, graf
Tři zápisy téže závislosti: vzorec y = …, dvojice (x; y) v tabulce a množina bodů v rovině. Předpis bez uvedeného oboru ještě není úplný popis funkce.
Definiční obor
Množina všech přípustných x: z kontextu úlohy (čas od 0 do 8 h) nebo z algebraického omezení (jmenovatel ≠ 0, odmocnina z nezáporného).
Obor hodnot
Množina všech y, která funkce skutečně nabývá; z grafu se čte jako průmět na osu y, z tabulky jako množina druhých složek.
Test svislé přímky
Graf je grafem funkce, právě když žádná svislá přímka x = konst. neprotne křivku ve dvou různých bodech.
Rostoucí a klesající
Na intervalu je funkce rostoucí, když s rostoucím x roste i y; klesající, když y klesá. Žák to čte z grafu po úsecích, ne z jednoho bodu.
Maximum a minimum na grafu
Nejvyšší a nejnižší bod viditelného grafu (nebo na zadaném intervalu); žák musí říct, zda jde o hodnotu y a při jakém x.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    „y = x² a x = y² je totéž, obojí je funkce.“

    Jak na to

    Nakreslete oba grafy. U x = y² veďte svislou přímku x = 4: protne dvě hodnoty y. Nechte žáky hlasovat, který graf projde testem svislé přímky.

  • Častá chyba

    „Definiční obor je vždy všechna reálná čísla, protože ve vzorci není nic zakázané.“

    Jak na to

    Dejte y = 1/(x − 2) a slovní úlohu „teplota od 8 do 16 hodin“. Žák musí zapsat D dvěma způsoby: algebraicky (x ≠ 2) a z kontextu (interval hodin).

  • Častá chyba

    „Obor hodnot vyčtu z osy x“ nebo „obor hodnot je totéž co definiční obor“.

    Jak na to

    U jednoduchého grafu (úsečka, parabola otevřená nahoru) nechte jednu skupinu stínovat osu x a druhou osu y; porovnejte, která stínovaná množina odpovídá y.

  • Častá chyba

    „Když graf klesá a pak stoupá, funkce není funkce.“

    Jak na to

    Ukažte U-křivku a vodorovně posouvejte pravítko svisle: každá svislice jeden bod. Oddělte otázku ‚je to funkce?‘ od otázky ‚je rostoucí na celém D?‘.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: tabulka ‚počet jízdenek → cena‘ a tabulka, kde jednomu počtu odpovídají dvě ceny; žáci rozhodnou, která tabulka smí být funkcí.
  2. Jádro: z grafů a předpisů určovat D a H, test svislé přímky a popsat rostoucí/klesající úseky a extrém; u slovních situací zapsat, co je x a co y (MAT-MAT-005-ZV9-019).
  3. Reflexe: žák k jednomu grafu napíše jednou větou D, H a jednu vlastnost, kterou z obrázku opravdu vidí, a jednu, kterou z něj vyčíst nelze.

Nápady na aktivity

  • Stanoviště s kartami: předpis / neúplný předpis / vztah, který není funkcí; skupiny třídí a u každé karty zapíší D, nebo důvod vyřazení.
  • Rychlé čtení grafu na tabuli: učitel ukáže křivku na omezeném intervalu, žáci na miniwhiteboard napíší interval D, odhad H a zda je na viditelném úseku rostoucí.

Hodnocení

Žák u zadaného grafu nebo tabulky rozhodne, zda jde o funkci, zapíše definiční obor a odhadne obor hodnot a jednu další vlastnost z grafu.

Krátká slovní situace (MAT-MAT-005-ZV9-019): žák zvolí vstup a výstup, navrhne tabulku nebo náčrt grafu a uvede omezení D z reality.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Funkce: pojem a vlastnosti

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Funkce: pojem a vlastnosti jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-005-ZV9-019 Řeší reálné problémy pomocí funkcí.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Funkce: pojem a vlastnosti trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata