Podobnost trojúhelníků

Žáci používají věty o podobnosti trojúhelníků k výpočtu délek, měřítek a poměrů v mapách i ve slovní geometrii.

Průvodce tématem Podobnost trojúhelníků v předmětu Matematika pro 9. třídu: co mají žáci zvládnout, na co navázat a kde nejčastěji chybují. K tomu příprava na hodinu, pracovní list nebo písemka, které ScioBot připraví na jedno kliknutí přesně pro tento ročník.

Připravit hodinu Všechny formáty

Klikněte a tvořte

Získejte přípravu zdarma

Vyberte formát. Jedním kliknutím otevřete tvorbu na téma Podobnost trojúhelníků (9. třída) — ScioBot ho připraví za vás.

Připravit hodinu

Další formáty na jedno kliknutí

Téma i ročník jsou už vyplněné. Nic nepíšete — rovnou tvoříte.

Podobnost trojúhelníků v 9. ročníku navazuje na shodnost, poměr a měřítko. Žáci zjišťují, kdy mají dva trojúhelníky stejný tvar (odpovídající úhly shodné) a strany v konstantním poměru, a tento poměr používají k dopočítání neznámých délek.

Věty o podobnosti (uu, sus, sss) slouží k rozhodnutí, zda jsou trojúhelníky podobné, a k sestavení správných úměr mezi odpovídajícími stranami. Stejný postup se uplatní u map, plánů a slovní geometrie (stín, výška stromu, vzdálenost).

Výstupy MAT-MAT-003-ZV9-007, MAT-MAT-002-ZV9-005 a MAT-MAT-005-ZV9-016 se potkávají: útvar se rozpozná a popíše, metrické údaje se dopočítají a poměr se zapíše i použije v reálné situaci.

Předpoklady

Klíčové pojmy

Podobné trojúhelníky
Mají stejný tvar: odpovídající úhly jsou shodné a odpovídající strany jsou v tomtéž poměru (koeficient podobnosti).
Odpovídající strany a úhly
Strany leží proti shodným úhlům; zápis △ABC ~ △DEF určuje pořadí vrcholů a tím i které strany se dávají do úměry.
Koeficient podobnosti k
Poměr délek odpovídajících stran druhého a prvního trojúhelníku; k > 1 zvětšení, 0 < k < 1 zmenšení.
Věta uu
Stačí dvě dvojice shodných úhlů (třetí úhel je dopočten ze součtu 180°); typicky u rovnoběžek a příček.
Věty sus a sss
sus: dvě strany v poměru a sevřený úhel shodný; sss: všechny tři poměry odpovídajících stran stejné.
Úměra délek
a/a' = b/b' = c/c' = k; neznámá se vyjádří křížovým pravidlem, jednotky musí být stejné.
Měřítko a slovní geometrie
Plán, mapa i podobný trojúhelník ve stínu nebo v terénu jsou týž poměr; výsledek se převádí do skutečných jednotek.

Časté miskoncepce

  • Častá chyba

    Žák napíše △ABC ~ △DEF, ale do úměry dá AB/DE a BC/DF, přestože podle pořadí vrcholů má BC odpovídat EF.

    Jak na to

    Nechte ho nejdřív vypsat trojice vrcholů A↔D, B↔E, C↔F a teprve pak strany; špatnou úměru škrtněte a přepište podle tohoto párování.

  • Častá chyba

    U trojúhelníku s rovnoběžkou s jednou stranou žák prohlásí podobnost, ale do poměru dá úsečky, které neleží proti stejným úhlům (např. „spodní“ stranu s „boční“).

    Jak na to

    V obrázku vybarvěte dva shodné úhly stejnou barvou a požadujte, aby do zlomku šly jen strany proti stejně vybarveným úhlům.

  • Častá chyba

    Na mapě 1 : 25 000 žák spočítá vzdálenost jako „25 000krát kratší na papíře“, ale zapomene převést centimetry na metry a kilometry.

    Jak na to

    Spočítejte nejdřív délku ve stejné jednotce (cm → cm), až potom převod na m nebo km; výsledek zkontrolujte odhadem (pár centimetrů na mapě nemůže být desítky kilometrů).

  • Častá chyba

    Žák zamění podobnost se shodností: „mají stejné úhly, tak mají i stejně dlouhé strany“ a dopočítá délku 1 : 1.

    Jak na to

    Dejte vedle sebe dva podobné, ale různě velké trojúhelníky se stejnými úhly; nechte změřit jednu dvojici stran a ukázat, že k ≠ 1.

Jak učit

2–3 hodiny

  1. Evokace: dvě fotografie téhož trojúhelníkového štítu v různém měřítku — žáci odhadnou, co zůstalo stejné a co se změnilo.
  2. Jádro: na rýsovaném páru ověřit uu/sus/sss, zapsat △… ~ △… a dopočítat jednu stranu úměrou; totéž na úloze s měřítkem mapy.
  3. Reflexe: každý žák jednou větou řekne, podle které věty rozhodl podobnost a které dvě strany dal do poměru.

Nápady na aktivity

  • Dvojice dostane náčrt se dvěma trojúhelníky (jeden s rovnoběžkou); určí větu, zapíší podobnost a dopočítají označenou stranu.
  • Ze školní mapy s měřítkem změří úsečku mezi dvěma body a převodem přes poměr spočítají skutečnou vzdálenost.

Hodnocení

Žák u daného náčrtu zdůvodní podobnost větou uu, sus nebo sss, správně spáruje strany a dopočítá neznámou délku.

Ve slovní úloze s mapou nebo stínem sestaví úměru, dodrží jednotky a výsledek uvede v požadované jednotce.

Související témata

Zdroje

Co pro vás ScioBot připraví k tématu Podobnost trojúhelníků

Interaktivní aktivity, které žáci spustí na tabletu či tabuli, tisknutelné kartičky a hry pro celou třídu – každý formát na téma Podobnost trojúhelníků jedním klikem.

Základní materiály

Interaktivní aktivity 14

K tisku a rozstříhání 8

Hry pro celou třídu 4

Očekávané výstupy

  • MAT-MAT-002-ZV9-005 Využívá metrické vlastnosti útvarů k řešení problému v kontextu reálných situací.
  • MAT-MAT-003-ZV9-007 Rozpozná geometrické útvary a využívá jejich vlastnosti k řešení problémů.
  • MAT-MAT-005-ZV9-016 Řeší reálné problémy pomocí poměru, úměry a procent.

Téma v dalších ročnících: 8. třída

Učíte Podobnost trojúhelníků trochu jinak?

Popište ScioBotu vlastními slovy, co s žáky chcete zvládnout a kolik máte času. Materiál přizpůsobí vašemu ŠVP, třídě i žákům se speciálními vzdělávacími potřebami.

Napsat ScioBotu

Související témata